（许兴华数学/选编）
【注】原名《由数学悖论说开去（由数学谈人生）》，作者为“方外一游神”，一共八篇。
01
由数学悖论说开去
我是学数学的，可能大家觉得数学只在教科书本上或是教授的书斋中才有意义，其实它与我们的的现实生活是可以相通的。我想通过数学上的几个有趣的数学悖论引出其关于生活的思考。
在数学发展史上曾有过几次数学危机，每次危机都曾危及整个数学大厦的根基，险些将其倾覆。其中最著名的是集合论的危机。为了说明集合论存在的基础性缺陷，数学家往往用比较通俗的悖论来简单明白地表述。悖论，就是对某个论点运用正确的理论推理得出相反的结论，从而说明此论点是谬误。理发师悖论就是其一。
理发师实际上把男人分成了两个集合：1、自己刮胡子的男人；2、不自己刮胡子的男人。他最后发现他自己被排除在两个集合之外了。这就是集合论的缺陷所在。后来如何度过危机，是数学家们的事，与本话题无关。
我之所以要提及理发师所犯的错误，因为在现实生活中这样的错误比比皆是。我们经常掉进自相矛盾的尴尬之中。在工作中，在处理各种关系时，甚至在感情问题上，我们经常会感到矛盾重重，而这些矛盾往往又都是自己造成的，象蚕一样吐出长长的丝自己把自己缠住，无论如何也难以自拔。自己被矛盾所困，为矛盾而烦恼，从而想出种种办法想解脱，反而又生出更多...新矛盾，把事情弄得更糟。
我想，可能人在此时只能向蚕学习，咬破包裹着自己的茧，化蛹为蛾，才会飞出自困，完成人生的升华！
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02
大力神追不上小乌龟
凡是学过微积分的人，都知道极限。在古希腊，数学家们还没有明确的极限概念，但已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，当然由于“无穷小”这个量的概念没有建立，他们是无法解决这些矛盾的。因此，一些数学悖论风行一时。“大力神追不上小乌龟”就是其中较为有趣的一个。
根据极限论的观点，空间与时间是无限可分的。这种无穷小量的概念，其实在我们中国古代早已有之，刘辉割园和祖冲之的圆周率，都是运用了“割之又割，割之弥细，细而又割，无穷尽矣”的穷竭法来无限逼近圆的准确面积，这就是无穷小量的原始雏形。但古希腊的一部分数学家是反对空间和时间无限可分的，他们的有力武器之一就是“大力神追不上小乌龟”这个悖论。
这明显是与事实相悖的，因为大家知道大力神早就应该超越小乌龟了。可是根据这个悖论，难道就说明了现代数学基础理论之一的极限论不是正确的？
暂且不去讨论纯数学问题，大多数朋友没有兴趣。我想通过这个悖论表达的思想是：在现实生活中，我们都有许许多多的大小目标要去追求。有趣的是，我们在很多情况下会发生和大力神一样的困惑：实现了生活中的一个目标，却没有达到这个目标后的满足感和成就感，又觉得这个目标好像仍在你的前方，仍旧需要你新的努力和奋斗！这种困惑或许是我们生活中永远追求不息的动力吧？！
我想表达另一层面的意思却是：在生活中你往往会有这样的时候，你的目标好像是永远无法达到的，因为你可能有了和大力神同样的困惑，但往往这是一种假象，是与事实相悖的误解！你可能早已达到或已冲破了你的目标终点线，在新的高度上向前向上飞跃！所以，你永远也不要气馁，永远不要沮丧！追求一旦放弃，人生也就没有了意义！
03
两平行线有交点
有人看到这个题目，肯定会觉得我在胡说八道，或是在哗众取宠。别急，请慢慢看来。
在数学中，大多数悖论是用来发现数学理论中的谬误与缺陷的，本身一般不能独立成为数学理论。今天，我给大家讲一个悖论本身也成为重要数学基础理论的一例。
我们在中学学的平面几何叫欧几里得几何，简称欧氏几何。两千多年来，欧氏几何是大家公认的典范。尤其是哲学家们，把欧氏几何尊为绝对几何学，是物质空间中图形性质的正确理想化，是唯一的、必然的和完美的。而完美的，必然是简明清晰的。
而在欧氏几何中，平行公设比起其他公理的公设来说，显得不够简明，啰哩啰嗦，不够完美。对于完美简明有点吹毛求疵的数学家们，在经过漫长时间的力图将其简明完美的努力失败之后，开始怀疑其真确性，继而提出了悖论：“两平行线在无穷远点处相交，而在交点处两线有公垂线”。
数学家们用此悖论再加上欧氏几何其他公理和公设，从而创立起了一个全新的几何学------非欧几何。非欧几何的创立为多维甚至高维空间的其他学科比如天文学奠定了新的发展的基础理论。
其实，不管在现实生活中还是在科学领域中，没有绝对，只有相对；没有完美，只有追求尽善尽美；而只有在对完美的追求之中，我们会不断地发现更美更新的未知世界，会发现我们不曾知道的更加广阔的天地。
由此悖论，我想阐述的另一层意思是，生活在这个世界上的同一空间里，人们往往会因没有多少联系或关系而走着互不相交的平行轨迹，孰不知这些互不干涉的常规经常会被无法预知的事件打破，毫无关系的人可能会变成相对亲近的人。不然，为何会有一见如故的人呢？
我觉得，平行生活轨迹的交点可以用一些词来加以定义，比如说：缘份，一见如故，等等。有兴趣的朋友可以自己去寻找更多的词。在几十亿条平行轨迹中，能与之相交的毕竟不多，更何况从数学观点看，这些交点可能还是远在朦胧处，远在岁月的长河中。所以，我要说，惜缘吧，不管是在灯火阑珊处，还是在月光朦胧中，还是在悠悠岁月里。
04
模糊与精确
提起模糊数学，很多人会觉得奇怪：数学是用来精确描述事物的科学，为什么会有模糊的概念呢？
其实，这里的所谓模糊概念，只是一种对现实事物的判断。说起来很有意思，比如，说这人有1。75米，是个高个，这就是一种判断。可是这个判断是有局限性的，因为1。75米在南方来说是高个子，但到了北方可能就只能算中等个子了。所以，究竟身高多少才算高个呢？这就是个模糊概念，需要模糊数学来研究和解决。现在，智能机器人发展很快，而判断身高则是智能机器人应该具备的最基本的判断能力。而模糊数学正是解决这类问题的最基本的基础理论。
比如说判断身高，在模糊数学中运用了一个“隶属度”的概念来确定：将高个相对多的中国北方地区的“隶属度”定高一些，将南方的“隶属度”定低一些，这样判断身高时，1。75米在“隶属度”高的地区表现为中等个，而在“隶属度”低的南方就可表现为较高个。这样的处理实际是用积累在人类大脑中的经验转化为数学概念后，用“隶属度”来准确判断身高这类模糊概念，从而为智能机器人提供了判断身高这样基本智力判断的方式。
通过模糊数学这个与现实生活密切相关的科学，我想说明的是，在我们的生活中，有相当多的这类所谓模糊概念，也需要相应的方式来加以准确分析与判断，完全可以参照数学中的“隶属度”——程度比较法来加以运用。
比如，人的情感是最难以判断的，往往是扑朔迷离的，尤其是深陷其中的时候更是无法搞清楚的。你知道我爱你有多深？月亮代表我的心！唉，纯粹是模糊之极！谁也不知道！如果你这时还有点清醒，不妨用程度比较法自我判断一下，是我爱得多些还是她爱得多一些，得出相应结论之后，可能会对你有所益处吧？
不过，在处理现实生活中的纠纷矛盾时，这种方式可能会有意想不到的效果哦！
当然，谁也不会把爱情当做数学题来做，权当我在这里搞笑吧！
05
拓朴之释
拓朴学是现代数学的一个重要分支，主要是研究奇异形变的规律。通俗点说，拓朴是橡皮上的数学：在一个弹性较好地橡皮上画上较为规矩的图形（比如长方条格）后，用手任意扭曲它，画在它上面的图形将会发生各种奇异的变化，你会发现你从来没有看到过的美妙图形；或者你用手随意捏弄一个气不太足的气球，使之此鼓彼突，你会看到印在它上面的图案会发生不可思议的各种变化。而拓朴学正是用来研究这种图形变化妙处之所在的规律的。
现实生活自有其正常规律，生命之河会沿着它固有的河道奔流。但人是天赋的精灵，天生有七情六欲，并且极富创造力和想象力。正是这种与生俱来的创造与想象，使我们的世界和生活不会沉闷得象长方形格子，是想象之神将其弯曲出千奇百怪五彩缤纷的现实社会。
在几千年的人类历史长河中，已经记载了人类所创造的各种奇迹，也传颂着千古不朽的爱情传奇。这些亘古不变的区别于正统社会的奇异色彩，正是各种各样反抗正统观念和精神枷锁的不屈扭力，让一成不变的古板与丑陋变形，使奇迹诞生如久受压抑的火山喷射出的夺目光焰，使传奇开放如凌风傲雪的冰山雪莲的骄人风姿。哥白尼虽然自己在丑恶的神火中化为灰烬，他却让太阳登上了人类圣坛的中心而让真理昭示后人；梁山伯与祝英台虽然早已化为彩蝶，可他们的坚贞爱情会永远飞舞在人们的心间而被千古传唱！
可以说，正是生活的拓朴之钥解译了生命色彩之奇妙，演绎了爱情奥秘之真缔。绘在你生命图画上的美妙与奇异，正是你变幻莫测而又坚强不屈的精神力量之所为。当然要适度把握好变化的尺度，有时更要顺其自然而因势利导，才能避免勉强或生硬。强扭的瓜不甜，强摘的花不鲜，要有自然美，变化自如而不留痕迹才是拓朴的最高境界。
用你情感的拓朴之玄，将你的爱情演变得更加绚烂多姿！把握好你自己的生活拓朴之钥吧，精彩变幻你的生命之星光！
06
拐点
我的《拓朴之释》可能有人觉得稍微难懂一点，今天我想谈谈通俗一些的“拐点”。凡是读过高中的人都应该学过微积分，对微积分中的“拐点”这个数学名词应该有些印象。
在连续变化的曲线中，总是会有向上弯曲和向下弯曲的形状：向下弯曲的曲线象小山包，向上弯曲的曲线则如小山谷。当曲线由向上（或向下）弯曲经过一个分界点后变化为向下（或向上）弯曲时，这个分界点就叫拐点。通俗地说，拐点就是曲线弯曲形状的分界点。经过这点时，曲线发生了质的变化。
人生也是一条连续不断的曲线，总是如大海的波涛起伏不定而变化莫测：时而如挺拔的峰峦，时而如幽深的峡谷，时而如平静的湖泊。人的一生总会经历许多的波折：你的事业有如日中天之时，也有如临深渊之日；你的爱情有繁花似景之盛，也有草木凋零之谢。因此，人生也总会经历许多的拐点，并经过这些拐点后，来迎接人生的许多重大转折。这是人生之规律，谁也无法抗拒和避免。
由此而言，如何把握自己人生之“拐点”，则是每个人面临的人生重要课题。从数学角度看，当连续曲线函数在某一点的一阶导数和二阶导数均为零时，这一点就是拐点！从这个意义上说，当你的人生曲线处于平缓之时，很可能就是你的人生“拐点”之所在：在你经过百般努力而一事无成时，在你经受千番苦痛而孤独徘徊时，很可能就是你功成名就、爱情幸福的重大人生转折点到来之际！因此，不要悲观，不能沮丧，不要对生活失却信念。当然，在你春风得意之时，也应该未雨绸缪，警惕秋冬的寒霜来临。“于无声处听惊雷”，真是人生拐点的精辟诠释！
其实，人生曲线是许多其他曲线综合构成的。其中，人的生理曲线和心理曲线是两条最重要的曲线。这两条曲线有各自独特的变化规律，也相互影响、相互制约，构成了人生五线谱上的主旋律。
由于这两条曲线与每个人的日常生活密切相关，因而其规律也较为容易掌握。在你心绪不佳时，可能是你心理曲线的低谷；在你体力充沛时，可能是你生理曲线的高峰。当然两条曲线的互相影响也是非常明显的：当你病痛缠身时，可能会影响你的情绪低落；当你情绪低落时，又会使你身体的抵抗力降低从而容易得病。正因为如此，如何掌握和控制你两条生命曲线的拐点，是你把握人生曲线的必经之路。从理论上和实践中，通过情绪控制和调节是可以改变生命曲线拐点的出现规律，让有利的拐点提前，使不利的拐点消失，是很有可能做到的。你在生活中可能也经历过这种时刻。当你孤独的在无人听见的地方大声高唱无人听懂的绝唱时，是一种悲愤情感的宣泄，其实也是在把不利的拐点消除，只是你自己没有意识到而已。
人总是在经历了大起大落的跌宕之后而心情逐渐趋于平静时，才会有些冷静的思考。而这些冷静的思考，正是你在把握你的人生曲线之拐点。是生活教会了我们思考，是我们自己在描绘自己生命的美丽曲线。
当然，大千世界无奇不有。在你的生活中会有许多事情突然发生，会有许多人不期而至。这些人和事可能会改变你的一生，它们正是你生命中的拐点！
我是你人生的拐点吗？谁又是我一生中的那个最重要的拐点呢？
07
谈谈黄金分割率与生活
年龄大一点的人，都应该记得数学大师华罗庚在上世纪六七十年代推广的“优选法”，也叫“0.618法”，当时还发行过一本推广优选法的小册子。那时我年纪不大，吃腻了又黑又硬的黄馒头，对应用优选法蒸出来的不发黄的松软的大馒头感到很惊奇，觉得很神秘。可能就是这时候，我开始对数学着迷了。
其实，优选法就是黄金分割率，也叫黄金率，还叫做“中外比”。在１３世纪中叶，数学家法布兰斯写了一本书，提出了关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233┅┅（前面两个1是为了引出后面的数列）。在这组数列中，任何一个数字都是前面两数字之和：2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。
这组数列的奇妙之处在于：任何两个相邻的数字的比率都是0.618！不信请试算一下：55/89＝0.618，89/144＝0.618，144/233＝0.618┅┅。还有，这组数字十分有趣。0.618的倒数是1.618。譬如144/89＝1.618、233/144＝1.618，而0.618×1.618＝就等于１。
有人说这些数字是法布兰斯从研究金字塔所得出的。金字塔和上列奇异数字息息相关，金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0.618。另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线的0.618。
后来，我在学习数学的时候，知道了黄金分割率的数学表达法：把已知线段分成两部分，使其中一部分对于全部的比等于其余一部分对于这部分的比，其数学表达式为：X/L=（L—X）/X，由此可以导出黄金率的数学精确表达为： （√5—1）/ 2。（根号下5。请原谅，根号打不出）
应该说，黄金分割率本身就是从生活中提炼出来的，反过来，它对生活又是密切相关的。从本文开始提到的“优选法”就可以看到，黄金分割率已经被利用到我们生活的各个角落，从建筑、设计、工艺、医学、美学、音乐、绘画、生物、水利、冶金等，到金融、期货、股票，到养生健康、美容等普通生活，无所不在。
先从古代说起。李冰父子修建的都江堰就具有黄金分割率的设计思想蕴含其中。都江堰是在岷江中顺着水流的方向建立了一个分水堤，用黄金分割率也就是大约为四比六的分水比例将江水分成内江和外江。内江的水经过宝瓶口流入了成都平原，外江的水顺流而下。都江堰朝向上游的端头，是著名的鱼嘴，它将岷江水劈成两部分，在内江与外江之间进行了第一次分水。所谓的大约四比六的分水比例的分水原理就是：在沽水季节，春天农业用水之时，为内六外四；而在洪水季节则倒过来，为内四外六。在靠近都江堰的尾端，也是在宝瓶口的稍微靠前一点，就是著名的飞沙堰，依赖于它适中的高度（比河底高2米），都江堰进行了第二次分水。即在洪水季节，水流将大量从飞沙堰之上泄到外江。千百年来，都江堰不仅造福于成都平原，而且没有毁堤淤沙这些现代水利工程经常发生的弊病，应该说是运用黄金分割率设计思想的成功典范，也是在国内外的建筑史和水利史上的一个不朽的丰碑。
再说说现代。大量运用于期货股票走势分析预测的艾略特所创的“波浪理论”，就是以黄金分割率为理论基础的。现广泛地为投资人士所采用。运用黄金分割率分析的基本方法有两种。第一种方法：以股价近期走势中重要的峰位或底位，即重要的高点或低点为计算测量未来走势的基础，当股价上涨时，以底位股价为基数，跌幅在达到某一黄金比时较可能受到支撑。当行情接近尾声，股价发生急升或急跌后，其涨跌幅达到某一重要黄金比时，则可能发生转势。第二种方法：行情发生转势后，无论是止跌转升的反转抑或止升转跌的反转，以近期走势中重要的峰位和底位之间的涨额作为计量的基数，将原涨跌幅按0.191、0.382、0.5、0.618、0.809分割为五个黄金点。股价在后转后的走势将有可能在这些黄金点上遇到暂时的阻力或支撑。当然，这些方法不一定是万能的，要结合各种因素综合灵活运用才会取得好的效果。
有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方，这也是生物学中的有趣现象。可能这样向日葵花吸收的阳光、水分和养料是最充分的，这也是生物在物竞天择中遵循的黄金分割率的充分体现！！！
其实最有趣的还是现代女性为什么喜欢穿高跟鞋？她们只知道穿高跟鞋显得好看，可并不知道高跟鞋的设计者是根据人体美学中的黄金分割率才设计出改变人类进化中身体比例瑕疵的高跟鞋！在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点（由脚底至肚脐的长度与身高之比）。换言之，若此比例愈接近0.618，就会愈给人一种美的感觉。然而遗憾的是，一般人的比例大约只有0.58至0.6左右。所以，腿长的人这个比例就会较为接近黄金分割率。为了弥补这个遗憾，高跟鞋应运而生了：延长了腿部长度，使比例逼近黄金分割率。所以，我经常看到有的女性穿高跟鞋却弯着膝盖走路，显得十分难看，就是因为她并不知道高跟鞋的设计原理，腿一弯就把长度缩短了，失去了穿高跟鞋的意义，又让自己受罪，何苦啊？
其实，在人体美学的研究中，发现黄金分割率在人体的各个部分都有体现：专家提出的人体黄金分割因素包括4个方面，即18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点，喉结为头顶至脐分割点，眉间点为发缘点至颏下的分割点等；15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等；6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦部距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；3个“黄金三角”，如外鼻正面三角、外鼻侧面三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。哈哈，我有个同学经常自夸：我有个黄金分割的鼻子！！
芭蕾舞为什么优美好看，就是因为女演员踮起脚延长了整个腿部的长度，再加上芭蕾舞鞋的长度，使得全身的比例非常接近黄金分割率，让人们充分感受到了美。画家笔下的美女，一般都有修长的双腿，比如敦煌石窟壁画中的飞天，让人觉得美若天仙，这也是黄金分割率在人体美学和艺术上的典型体现。用来绘画的油画框和宣纸，其长宽比通常是黄金分割比；画家在设计画稿时也常常把画中的重点人物或主体放在黄金分割点上。在摄影时取景，也是把主体置于黄金分割点上，即画面左上方或右上方约0.618的地方。
学过服装设计的人，一般都知道设计稿上的人体腿部长度有适度夸张的长，这也是黄金分割率的一种体现；所以，服装设计师尽量在设计中想方设法延长人体下半部分的服装长度，很多裤装和裙装都是如此设计出来的；或是缩短人体上半部分的服装长度，反衬出肚脐以下身体比例加长，显得全身的比例更加趋于优美，露腰（脐）装就是典型一例。
在日常生活中，黄金分割率也无时无刻不在体现出来：如医学研究表明，养成饭吃六七分饱习惯的人很少患胃病，主食以四分精粮六分粗粮搭配不易患高血压、冠心病。有人提出生命在于运动，动而不衰；可又有人说，生命在于静养，静养存精得以长寿。从辨证观点看，动和静是一个0．618比例关系，大至四分动六分静才是较佳养生之法。这也是一种科学的养生之道吧，科学的意思，应该就是符合黄金分割率吧？！生活环境中的气温也是如此：人在温度为22℃－24℃时感觉最舒适。这是因为人的正常体温37℃与0．618的乘积为22．8℃，在这一温度中，新陈代谢、生理节奏和功能均处于最佳状态。还有就是从黄金分割率来看，结婚的最佳季节是一年12个月的0．618处，大约在7月底至8月底。研究表明，秋季是人的性欲与免疫力最佳的黄金季节，此时人体血液中淋巴细胞最多，能生成大量抵抗各种微生物的淋巴因子。出生于这个月的人也相对聪明些，哈哈，我也是这个时候出生的。：）））
生活中总是无奇不有，有人用黄金分割率来分析预测彩票的开奖，据说还中过大奖呢！在这里介绍一下。方法一：以上期开奖号为基础，用基本号码乘以黄金分割率（特别号码先不管），得数为８位数或９位数，再把小数点点到后３位上，如果是９位数，小数点前６位就是一注基本号码；如果是８位，可在前边加“０”或其他热门号与小数点前５位组成６位基本号码。方法二：对于用得数直接选号只是一种随机选法，缺少个人自控能力的，这时就应以得数６位或９位为基础数，根据冷热号从中挑选、编排自己所认可的号码，这样，就把天机与人为有机地结合起来。方法三：特别号可用黄金分割率相乘，也可用冷热号选定，这个方法不固定。你如果感兴趣，不妨一试。中了大奖，可要请我的客哟！！
在爱情和感情方面，我觉得也不妨试试黄金分割率。干柴烈火式的爱不可能长久，平平淡淡才是真；小别胜新婚，也有这个道理在里头；君子之交淡如水，若即若离才有思念，等等，不一而足。如何把握，就是我们自己的事了。希望各位能从我这篇短文中能有所启发，就是我的初衷所在。
写在后面：在写此文时，参考了不少其他资料，在此一并感谢!
08
从铁拐李过桥得到的启示
前几天在路上碰到十几年未见的学生，寒喧之余，学生提起以前我为他们上课时一些有趣的事。特别提到我讲过的课中，至今仍然记忆犹新是我为他们讲解“充分必要条件”一课时，为了加深他们的理解而讲的一个“铁拐李过桥”的寓言笑话：铁拐李因为一条腿瘸，就用一根铁拐绑在瘸腿上，走路时，正常的这条腿可以弯曲走，而铁拐则弯不了，所以老是拐这边高于腿这边，走起路就一高一低的走。有次过一座用两根木头搭的桥，因一根高一根低而不太平，铁拐李正好用拐走在低木头上，用腿走在高木头上，所以很平稳地过了桥，并说：这是我过的所有的桥中最平的一座桥。回来时又要过这座桥，这回只有用拐走在高木上，用腿走在了低木上，结果没几步就掉到河里了，还在叫：这是世界上是最不平的桥！！！
所谓“充分必要条件”，是说数学中每一个命题都有一个条件，如果能从条件推论出命题（或叫结论），这个条件就是充分条件；反之，如果能从命题推论回到条件，这个条件就叫必要条件。如果两个推论同时成立，则这个条件就是充分必要条件。为了加深理解，我把充分条件就取名为铁拐李条件，因为这是只能从条件过到结论去而回不来的条件。
当时我对学生说，这个比喻从纯数学角度来说可能不是非常严密，但我是通过这个比喻来加深你们的理解和记忆。其实这是一种思考方法或是一种思维方式，应该叫做逆向思维或反向思维。它用于其他方面也是很有用处的。比如在证明一个数学命题时，往往在从条件推论到结论时不会很顺利，这时就可以从要被证明的结论反推到条件，或者从正反两个方向同时往中间推，找到同一座桥时，命题也就被证明了。讲得更通俗点，就是做1+1=2，要能够从1+1由等号上走到2，也要能从2由等号上走回到1+1。不要学铁拐李，只能从一边过桥，而不能从另一边回过来。
数学中的这种逆向思维方式对解决和思考现实生活中的难题其实也非常适用。我们在生活中遇到了难事，往往容易一条道走到黑，喜欢钻牛角尖。这时候不妨再从另外的角度来考虑这个问题，往往会收到意想不到效果。
从事商务活动的人，经常要和人谈生意，谈业务，他往往会不自觉地把逆向思维的方式运用于谈判之中，因为往往从一个角度去谈会碰钉子，他马上就会用另一个角度去谈，甚至于用和原来相反的角度去谈，因为这个角度是从对方的角度去谈的，很容易和对方取得一致。周恩来总理就是一个谈判大师，也是运用逆向思维方式的楷模。在谈判中遇到难题时，他往往会从另外的角度绕个大圈子再回到原来的问题上来说服对方，连原美国国务卿基辛格这样高智商的谈判专家都不得不佩服他。
同样，在处理家庭和爱情的问题时，也要会运用逆向思维的方式。有句俗话叫“将心比心”，就是典型的逆向思维。往往凭自己的感觉走，很可能会碰一鼻子灰。因为情感是双方的事，一厢情愿，剃头挑子一头热，往往会失败。“以小人之心度君子之腹”，也是一种“铁拐李”现象，总是从自己的角度去考虑问题，而不顾及他人或对方的想法，不为别人考虑的人，其社会关系和家庭关系肯定是处理不好的。
作为生活在复杂社会中的社会人，考虑问题总是要全方位来考虑，学会了这样的逆向思维方式或者全方位思维方式，你也就会逐步走向成熟，什么样的桥你都可以平安通过了。
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